Adverbial participle
Деепричастие

Образуется так же как и причастие, но отвечает на вопрос «что делая?»:
Walking up the street, he saw a man walking a dog – Поднимаясь по улице, он увидел, как мужчина выгуливает собаку
Thinking about you, I lost my way – Думая о тебе, я заблудился
Dancing in the nightclub, he saw his friend – Танцуя в ночном клубе, он увидел своего друга

Перфектное причастие или деепричастие совершенного вида
Perfect Participle or Adverbial Participle

Образуется из причастия вспомогательного глагола «have» и причастия смыслового глагола:
having done – сделав///////////////not having done – не сделав
having written - написав//////////not having written – не написав
Having done his homework, he went for a walk - Сделав домашнее задание, он отправился на прогулку
Если действия следуют непосредственно одно за другим, то обычно употребляется герундий с предлогом on:
On doing his homework, he went for a walk – Сделав уроки, он пошёл гулять
Также можно использовать «инговую» форму, но это разговорная форма:
Writing a letter he went out – Написав письмо, он ушёл
В пассивной форме:
This is an old house, having been built last century – Это старый дом, построенный ещё в прошлом веке

Независимый причастный оборот
Nominative Absolute Participal Construction

The work done, we went home – Сделав работу, мы пошли домой
The weather being cold, he didn’t go out – Погода была холодной, он не вышел на улицу
The weather having changed, we didn’t go to the beach – Из-за того, что погода изменилась, мы не пошли на пляж
Don’t worry, all being well – Не волнуйтесь, всё будет хорошо
There being busy, he disclaimed to accept her – Будучи занятым, он отказался принять её
His story told, he sat on the chair – После того как он рассказал историю, он сел на стул